Question

16．已知函數f（x）=lg（mx²+mx+1），若此函數的定義域為R，則實數m的取值范圍是[0，4）；若此函數的值域為R，則實數m的取值范圍是[4，+∞）．

Answer 1

分析 （1）由題意知mx²+mx+1＞0在R上恒成立，因二次項的系數是參數，所以分m=0和m≠0兩種情況，再利用二次函數的性質即開口方向和判別式的符號，列出式子求解，最后把這兩種結果并在一起；
（2）根據函數的值域為R，則對數的真數式的取值范圍包含（0，+∞），由此可得m滿足的條件．

解答 解：（1）∵函數f（x）=lg（mx²+mx+1）的定義域為R，
∴mx²+mx+1＞0在R上恒成立，
①當m=0時，有1＞0在R上恒成立，故符合條件；
②當m≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△{=m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜4，
綜上，實數m的取值范圍是[0，4）．
（2）令g（x）=mx²+mx+1的值域為A，
∵函數f（x）=lg（mx²+mx+1）的值域為R，
∴（0，+∞）?A，
當m=0時，g（x）=1值域不是為R，不滿足條件；
當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{{m}^{2}-4m≥0}\end{array}\right.$，解得：m≥4，
故答案為：[0，4），[4，+∞）．

點評 本題考查的知識點是對數函數的定義域、值域與最值，二次函數的圖象和性質，難度中檔．