Question

18．已知數列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n，且滿足2S_n=（n+1）a_n，（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=3ⁿ-λa_n²，若數列{b_n}為遞增數列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用數列的遞推式：n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，將n換為n+1，兩式相減可得na_n+1=（n+1）a_n，整理變形，即可得到所求通項公式；
（2）數列{b_n}為遞增數列，作差可得2•3ⁿ-λ（2n+1）＞0，運用參數分離，構造${c_n}=\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$，判斷單調性，即可所求范圍．

解答 解：（1）∵2S_n=（n+1）a_n，
∴2S_n+1=（n+2）a_n+1，
兩式相減可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
即na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$，
∴$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}=…=\frac{a_1}{1}=1$，
∴a_n=n（n∈N*）．
（2）${b_n}={3^n}-λ{n^2}$，
.${b_{n+1}}-{b_n}={3^{n+1}}-λ{（{n+1}）^2}$-（3ⁿ-λn²）=2•3ⁿ-λ（2n+1）．
∵數列{b_n}為遞增數列，
∴2•3ⁿ-λ（2n+1）＞0，即$λ＜\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$．
令${c_n}=\frac{{2•{3^n}}}{2n+1}$，則$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{{2•{3^{n+1}}}}{2n+3}•\frac{2n+1}{{2•{3^n}}}=\frac{6n+3}{2n+1}＞1$．
∴{c_n}為遞增數列，
∴λ＜c₁=2，
即λ的取值范圍為（-∞，2）．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用數列的遞推式：n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，考查數列的單調性的運用，注意運用分離參數，考查化簡整理的運算和變形能力，屬于中檔題．