Question

8．已知函數f（x）=|x-a|
（1）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實數x，使不等式f（x）+f（x+5）＜m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化為|x-a|≤3，a-3≤x≤a+3．再根據不等f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，從而求得a的值；
（2）由題意可得g（x）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）由題意，|x-a|≤3，∴a-3≤x≤a+3，
∵不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，∴a=2；
（2）設g（x）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5，當且僅當-3≤x≤2時，等號成立
∵存在實數x，使不等式f（x）+f（x+5）＜m成立，
∴m＞5．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，帶有絕對值的函數，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．