Question

16．已知圓F方程為（x-1）²+y²=1，圓外一點P到圓心的距離等于它到y軸距離，
（1）求點P的軌跡方程．
（2）直線l與點P軌跡方程交于y軸的右側A，B不同兩點，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4（O為坐標原點），且4$\sqrt{6}$≤|$\overrightarrow{AB}$|≤4$\sqrt{30}$，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-1=丨x丨，整理得：y²=2x+丨x丨，去掉絕對值，即可求得點P的軌跡方程；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的數量積的坐標運算，求得m和k的關系，由△＞0，求得k的取值范圍，利用弦長公式，解一元二次不等式，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）設P（x，y） 則$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-1=丨x丨，則y²=2x+丨x丨，
∴P點的軌跡方程為：當x≥0時，y²=4x，
當x＜0時，y=0，
∴點P的軌跡方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}&{x≥0}\\{y=0}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）設 l：y=kx+m顯然 k≠0  設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，（其中k≠0），
則x₁+x₂=$\frac{4-2km}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，則 m=-2k，
代入△=（2km-4）²-4k²m²＞0，解得：km＜0，則-2k²＜1成立，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{4}{{k}^{2}}$$\sqrt{（1+{k}^{2}）^{2}（1+2{k}^{2}）}$，
由4$\sqrt{6}$≤|$\overrightarrow{AB}$|≤4$\sqrt{30}$，則4$\sqrt{6}$≤$\frac{4}{{k}^{2}}$•$\sqrt{（1+{k}^{2}）^{2}（1+2{k}^{2}）}$≤4$\sqrt{30}$，
6≤$\frac{（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{{k}^{4}}$≤30，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{4}-3{k}^{2}-1≤0}\\{28{k}^{4}-3{k}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{4}$≤k²≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤k≤1，或-1≤k≤-$\frac{1}{2}$．
∴直線l的斜率k的取值范圍[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及一元二次不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題．