Question

已知函數f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是從0，1，2三數中任取一個，b是從1，2，3，4四數中任取一個，那么f（x）＞b恒成立的概率為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  7

  20

• C、

  2

  5

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：由恒成立和分類討論可得當a＞0時有7種情況，當a=0時有1種情況，而總的共12種，由概率公式可得．

解答： 解析：當a＞0時，由x＞1知f（x）=ax+

x

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=（

a

+1）²，
∵f（x）＞b恒成立，∵（

a

+1）²＞b恒成立，
若b=1，則a=1，2；若b=2，則a=1，2；
若b=3，則a=1，2；若b=4，則a=2，共7種情況．
當a=0時，f（x）=

1

x-1

+1＞1，b=1適合，
故所求概率為P=

8

3×4

=

2

3

．
故選：A

點評：本題考查古典概型，涉及恒成立和分類討論以及基本不等式，屬中檔題．