Question

在研究關于曲線C：

x4

16

-y²=1的性質過程中，有同學得到了如下結論①曲線C關于原點、x，y軸對稱 ②曲線C的漸近線為y=±

x

2

 ③曲線C的兩個頂點分別為（-2，0），（2，0）④曲線C上的點到原點的最近距離為2．上述判斷正確的編號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：類比雙曲線的性質，分別對命題進行判斷即可．

解答： 解：①∵

(-x)4

16

-(-y)2=

x4

16

-y²=1，∴關于原點對稱的點也在曲線上，
∴曲線C關于原點、x，y軸對稱，正確；
②代入方程得到交點，故y=±

x

2

非漸近線，故曲線C的漸近線為y=±

x

2

錯誤．
 ③當y=0時，由

x4

16

-y²=1得

x4

16

=1，解得x=±2，
即曲線C的兩個頂點分別為（-2，0），（2，0），正確，
④設曲線上的點的坐標為P（x，y），則|OP|²=x²+y²=x²+

x4

16

-1=

1

16

（x⁴+16x²）-1=

1

16

[（x²+8）²）+
由

x4

16

-y²=1得

x4

16

-1=y²≥0，解得x≥2或x≤2，
即曲線C上的點到原點的最近距離為2．故④正確，
故判斷正確的編號為①③④，
故答案為：①③④

點評：本題主要考查與雙曲線有關的命題的真假判斷，類比雙曲線的性質是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力．