Question

17．已知棱長為6的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M分別為線段BD₁、B₁C₁上的點，若$\frac{BP}{P{D}_{1}}$=2，則三棱錐M-PBC的體積為24．

Answer 1

分析 利用直線與平面平行，轉化所求幾何體的體積為同底面高相等的棱錐的體積，即可求出三棱錐M-PBC的體積．

解答 解：∵棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
P、M分別為線段BD₁，B₁C₁上的點，BP=2PD₁，
∵幾何體是正方體，∴B₁M∥BC，
∴M到面PBC的距離與B₁到面PBC的距離相等，
三棱錐M-PBC的體積轉化為三棱錐P-B₁BC的體積，
正方體的棱長為6，
BP=2PD₁，P到平面B₁BC的距離為4，
∴V_M-PBC=${V}_{P-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×6×4=24．
故答案為：24．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題，考查轉化思想的應用．