Question

9．已知斜率為3的直線l與雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）交于A，B兩點，若點P（6，2）是AB的中點，則雙曲線C的離心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據AB的中點P的坐標，表示出斜率，從而得到關于a、b的關系式，再求離心率．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則代入雙曲線方程，相減可得-$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}=\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
∵點P（6，2）是AB的中點，
∴x₁+x₂=12，y₁+y₂=4，
∵直線l的斜率為3，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，
∴a²=b²，c²=2a²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故選A．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質，解題的關鍵是利用“設而不求”法求直線l的斜率．