Question

已知函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）、f（x-1）都是奇函數，則（　　）

• A、f（x）是奇函數
• B、f（x）是偶函數
• C、f（x+5）是偶函數
• D、f（x+7）是奇函數

Answer 1

考點：函數的周期性,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：運用奇函數的定義，將x換成-x，得到f（x+2）=f（x-2），再把x換成x+2，可得f（x）是以4為周期的周期函數，8也是函數f（x）的周期，即可判斷D正確．

解答： 解：由f（x+1）、f（x-1）都是奇函數得
f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
從而有f（x）=-f（2-x），f（x）=-f（-x-2），
故有f（2-x）=f（-x-2）⇒f（x+2）=f（x-2）⇒f（x+4）=f（x），
即f（x）是以4為周期的周期函數，
因f（x-1）為奇函數，8也是函數f（x）的周期，
所以f（x+7）也是奇函數．
故選D．

點評：本題考查函數的奇偶性和周期性的判斷，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．