Question

20．已知數列{a_n}滿足a₁=1，且${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}$（n≥2，n∈N*），則a_n=（2n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時除以2ⁿ，得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+1$，從而數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數列，由此能求出an．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ，兩邊同時除以2ⁿ，得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+1$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，又$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項，以1為公差的等差數列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+$n-1=n-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n-$\frac{1}{2}$）•2ⁿ，即${a_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$．
故答案為：（2n-1）•2^n-1．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．