Question

8．如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD與平面BCD所成的角為30°，且AB=BC=2；
（1）求三棱錐A-BCD的體積；
（2）設M為BD的中點，求異面直線AD與CM所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱錐A-BCD的體積．
（2）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出異面直線AD與CM所成角的大小．

解答 解：（1）如圖，因為AB⊥平面BCD，
所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，
因為AB⊥平面BCD，AD與平面BCD所成的角為30°，故∠ADB=30°，
由AB=BC=2，得AD=4，AC=2$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，CD=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則V_A-BCD=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCD}×AB$=$\frac{1}{6}×BC×CD×AB$=$\frac{1}{6}×2×2\sqrt{2}×2$
=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（2）以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（0，2，2），D（2$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（$\sqrt{2}，1，0$），
$\overrightarrow{AD}$=（2$\sqrt{2}$，-2，-2），$\overrightarrow{CM}$=（$\sqrt{2}，1，0$），
設異面直線AD與CM所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{2}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線AD與CM所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了直線和平面所成角的計算，考查了利用等積法求點到面的距離，變換椎體的頂點，利用其體積相等求空間中點到面的距離是較有效的方法，此題是中檔題．