Question

8．不等式log_ax-ln²x＜4（a＞0，且a≠1）對任意x∈（1，100）恒成立，則實數a的取值范圍為（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

Answer 1

分析 不等式轉化為$\frac{lnx}{lna}$＜（lnx）²+4，令t=lnx，得到$\frac{t}{lna}$＜t²+4在t∈（0，ln100）恒成立，通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：∵不等式log_ax-ln²x＜4，
∴$\frac{lnx}{lna}$＜（lnx）²+4，
令t=lnx，
∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），
∴$\frac{t}{lna}$＜t²+4在t∈（0，ln100）恒成立，
0＜a＜1時，lna＜0，顯然成立，
a＞1時，lna＞0，
故lna＞$\frac{t}{{t}^{2}+4}$，
令g（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$，t∈（0，ln100），
則g′（t）=$\frac{{-t}^{2}+4}{{{（t}^{2}+4）}^{2}}$，
令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，
令g′（t）＜0，解得：t＞2，
故g（t）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
故g（t）≤g（2）=$\frac{1}{4}$，
故lna＞$\frac{1}{4}$，解得：a＞${e}^{\frac{1}{4}}$，
綜上，a∈（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞），
故答案為：（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．