Question

18．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中點．
（1）求證：A₁C∥平面BED；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，先求得相關點的坐標，從而得到$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（3，3，-4），$\overrightarrow{EO}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，-2），然后由共線向量定理證明即可．
（2）分別求得二個半平面的一個法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，則$\overrightarrow{AE}$=（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一個法向量為，用向量的夾角公式求解．

解答 （1）證明：如圖建立空間直角坐標系，取BD的中點O，連接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），E（0，0，2），O（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）（2分）
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（3，3，-4），$\overrightarrow{EO}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，-2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=2$\overrightarrow{EO}$，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（2）解：由于AE⊥平面ABCD，
則$\overrightarrow{AE}$=（0，0，2）就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），
$\overrightarrow{BE}$=（-3，0，2），$\overrightarrow{BD}$=（-3，3，0），
設平面EBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
得$\left\{\begin{array}{l}{-3x+2z=0}\\{-3x+3y=0}\end{array}\right.$
令z=3，則$\overrightarrow{n}$=（2，2，3）．（7分）
cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$=$\frac{6}{2\sqrt{17}}$，
∴二面角E-BD-A的正切值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．（10分）

點評 本題主要考查用空間坐標法來求二面角，線面平行，作為向量法在解決立體幾何中的平行，垂直，角和距離有不可比擬的優越性，要靈活運用．