Question

19．橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$上的點到直線$x-y+5\sqrt{5}=0$的距離的最大值是3$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設P點坐標是（2cosα，sinα），（0°≤α＜360°），利用點P到直線x-y+5$\sqrt{5}$=0的距離公式和三角函數的性質即可求出最大值．

解答 解：設P點坐標是（2cosα，sinα），（0°≤α＜360°）
∴點P到直線x-y+5$\sqrt{5}$=0的距離d=$\frac{|2cosα-sinα+5\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}|cos（α+θ）+5|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{10}$，
故答案為：3$\sqrt{10}$

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意橢圓的參數方程、點到直線的距離公式、三角函數的性質的靈活運用．