Question

已知f（x）=2^x-

1

2x

+1．
（1）證明函數在R上是增函數；
（2 ）求g（x）=

x

f(x)

的奇偶性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求f′（x），根據其符號即可證出f（x）為R上的增函數；
（2）求出g（x）=

x•2x

22x+2x-1

，通過換元：令2^x=t，t＞0，求出使2^2x+2^x-1=0的x，并且可以說明該方程只有一個解x₀≠0，從而可看出g（x）的定義域不關于原點對稱，所以判斷出該函數為非奇非偶函數．

解答： 解：（1）證明：f′（x）=2xln2+

ln2

2x

＞0；
∴f（x）在R上是增函數；
（2）g（x）=

x•2x

22x+2x-1

；
若設2^x=t，（t＞0），h（t）=t²+t-1，t＞0；
h（t）的對稱軸為t=-

1

2

，所以在（0，+∞）上單調遞增；
∴h（t）∈（-1，+∞）；
∴存在唯一的t₀＞0，使h（t₀）=0，且t₀≠1；
∴存在唯一的x₀∈R，使2^2x+2^x-1=0，且x₀≠0；
∴g（x）的定義域為{x|x≠x₀}；
顯然定義域不關于原點對稱；
∴g（x）為非奇非偶函數．

點評：考查根據函數導數符號證明函數單調性的方法，以及換元的方法，二次函數的單調性，指數函數的值域，以及奇偶函數定義域的特點．