Question

5．函數f（x）=ax+xlnx在x=1處取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若y=f（x）-m-1在定義域內有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f′（1），求出a的值，從而求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，結合函數的圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=a+lnx+1，…（1分）
∵f'（1）=a+1=0，解得a=-1，當a=-1時，f（x）=-x+xlnx，…（2分）
即f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；…（3分）
令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；…（4分）
∴f（x）在x=1處取得極小值，f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）…（6分）
（Ⅱ）y=f（x）-m-1在（0，+∞）內有兩個不同的零點，
可轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，
也可轉化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個不同的交點，…（7分）
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
f（x）_min=f（1）=-1，…（8分）
由題意得，m+1＞-1即m＞-2①…（10分）
當0＜x＜1時，f（x）=x（-1+lnx）＜0；
當x＞0且x→0時，f（x）→0；
當x→+∞時，顯然f（x）→+∞（或者舉例：當x=e²，f（e²）=e²＞0）；
由圖象可知，m+1＜0，即m＜-1②…（11分）
由①②可得-2＜m＜-1…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及數形結合思想、轉化思想，是一道中檔題．