Question

2．已知數列{a_n}滿足a_n=n²+λn（λ∈R），且a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜a_n+1＜…，則λ的取值范圍是（-3，+∞）．

Answer 1

分析 由已知，數列{a_n}為單調遞增數列，得出a_n+1-a_n＞0對于任意n∈N^*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分離參數法求實數λ的取值范圍即可．

解答 解：∵a_n=n²+λn①
∴a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）②
②-①得a_n+1-a_n=2n+1+λ．
由已知，數列{a_n}為單調遞增數列，
則a_n+1-a_n＞0對于任意n∈N^*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，
易知當n=1時，-（2n+1）的最大值 為-3，
∴λ＞-3
故答案為：（-3，+∞）．

點評 本題考查數列的函數性質，考查了轉化、計算能力，分離參數法的應用，屬于中檔題．