Question

13．已知方程x²+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，則$\frac{2-b}{3-a}$的取值范圍是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． $（-∞，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{2}，2）$
• D． $（0，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 由題意和一元二次方程根的分布問題，列出關于a，b的不等式組，由二元一次不等式（組）與平面區域關系畫出可行域，根據直線的斜率公式得到$\frac{2-b}{3-a}$的幾何意義，由斜率公式和圖求出答案．

解答 解：令f（x）=x²+ax+b，
∵方程x²+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+b＜0}\\{4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{1+a+b＜0}\\{4+2a+b＞0}\end{array}\right.$畫出可行域，
如右圖中的△ABC內的區域，
B（-2，0），C（-1，0），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=0}\\{4+2a+b=0}\end{array}\right.$，解得A（-3，2），
∵$\frac{2-b}{3-a}$的幾何意義為：可行域內的動點與定點P（3，2）連線的斜率，
且k_AP=0，${k}_{CP}=\frac{2-0}{3-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2-b}{3-a}$的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$），
故選D．

點評 本題考查了一元二次方程根的分布，元一次不等式（組）與平面區域，即簡單的線性規劃問題，以及直線的斜率公式，考查了數形結合思想、轉化思想，是中檔題．