Question

3．已知函數f（x）=xln（x+$\sqrt{2a+{x}^{2}}$（a＞0）為偶函數．
（1）求a的值；
（2）求g（x）=ax²+2x+1在區間[-6，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出g（x）的表達式，根據函數的單調性求出g（x）在值域即可．

解答 解：（1）由題意知f（x）是偶函數，
∵a＞0，∴$\sqrt{2a{+x}^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}}$=|x|≥-x，
所以函數f（x）定義域為R，
則有：f（1）=f（-1），
 即ln（1+$\sqrt{2a+1}$）=-ln（-1+$\sqrt{2a+1}$），
∴1+$\sqrt{2a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2a+1}-1}$，
 即2a+1-1=1，a=$\frac{1}{2}$；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1，
開口向上，對稱軸為x=-2，
∴g（x）關于x在[-6，-2]上遞減，則g（-2）≤g（x）≤g（-6），
g（x） 關于x在（-2，3]上遞增，則g（-2）＜g（x）≤g（3），
又g（-2）=-1，g（3）=$\frac{23}{2}$，g（-6）=7，
g（x）的值域為[-1，$\frac{23}{2}$]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查二次函數的性質，是一道中檔題．