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8.已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函數(shù).
(1)求k的值;
(2)若方程f(x)=m有解,求m的取值范圍.

分析 (1)利用函數(shù)是偶函數(shù),利用定義推出方程求解即可.
(2)通過(guò)方程有解,求出函數(shù)的最值,即可推出m的范圍.

解答 (本小題滿(mǎn)分12分)
解:(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知,f(-x)=f(x),
∴l(xiāng)og4(4x+1)+2kx=log4(4-x+1)-2kx,即log4$\frac{4x+1}{4-x+1}$=-4kx,
∴l(xiāng)og44x=-4kx,∴x=-4kx,即(1+4k)x=0,對(duì)一切x∈R恒成立,
∴k=-$\frac{1}{4}$.…(6分)
(2)由m=f(x)=log4(4x+1)-$\frac{1}{2}$x=log4$\frac{4x+1}{2x}$=log4(2x+$\frac{1}{2x}$),
∵2x>0,∴2x+$\frac{1}{2x}$≥2,∴m≥log42=$\frac{1}{2}$.
故要使方程f(x)=m有解,
m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$,+∞).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用,函數(shù)的最值的求法,考查計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.若點(diǎn)(sin$\frac{2π}{3}$,cos$\frac{2π}{3}}$)在角α的終邊上,則sinα的值為(  )
A.$-\frac{1}{2}$B.$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

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17.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{({\frac{1}{3}})^x}{,_{\;}}_{\;}x≤1\\{log_{\frac{1}{2}}}x{,_{\;}}x>1\end{array}\right.$,則f(f(${\sqrt{2}}$))=(  )
A.$-\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\sqrt{3}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

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18.△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cosC=$\frac{2a-c}{2b}$.
(1)求角B的大小;
(2)若BD為AC邊上的中線(xiàn),cosA=$\frac{1}{7}$,BD=$\frac{{\sqrt{129}}}{2}$,求△ABC的面積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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