Question

13．已知函數f（x）=2^ax-2，g（x）=a（x-2a）（x+2-a），a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求實數a的值；
（Ⅱ）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過方程的根，結合已知條件求解即可．
（Ⅱ）解法1：利用{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，通過當a＞0時，當a＜0時，結合函數的圖象驗證求解即可．
（Ⅱ）解法2：由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，驗證當a＞0時，不符合題意，當a＜0時，討論若f（x）＜0，若g（x）＜0，推出結果即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={2^{ax}}-2=0得x=\frac{1}{a}$…（2分）
g（x）=a（x-2a）（x+a-2）=0得x=2a，x=2-a…（4分）
∵{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，
∴$\frac{1}{a}=1或\frac{1}{a}=2$…（6分）
經檢驗a=1符合題意，∴a=1…（7分）
（Ⅱ）解法1：設由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R
當a＞0時，x→+∞總有f（x）＞0，g（x）＞0不符合題意…（9分）
當a＜0時，由f（x），g（x）的圖象可得f（x）＜0或g（x）＜0成立則$2a＞\frac{1}{a}$…（13分）
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$…（15分）
（Ⅱ）解法2：設由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R
當a＞0時，x→+∞總有f（x）＞0，g（x）＞0不符合題意…（9分）
當a＜0時，若f（x）＜0，則$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$
若g（x）＜0，則x∈（2-a，+∞）∪（-∞，2a）
則$\frac{1}{a}＜2a$…（13分）∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$
綜上$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$…（15分）

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力．