Question

4．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥2x\\ x+y≤3\\ x≥a\end{array}$且z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義，求出最優解，建立方程關系，即可得到結論．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當直線y=-2x+z經過點C時，直線的截距最小，
此時z最小，
當直線y=-2x+z經過點B時，直線的截距最大，
此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，即C（a，2a），此時z_min=2a+2a=4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），此時z_max=2+2=4，
∵z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，
∴2×4a=4，即a=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．