Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosα-$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinα，1），$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$為共線向量，且α∈[-$\frac{π}{2}$，0]．
（1）求sinα+cosα的值；             
（2）求$\frac{sin2α}{sinα-cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量共線的性質可得$（{cosα-\frac{{\sqrt{2}}}{3}}）×1-（{-1}）×sinα=0$，整理即可得解．
（2）由（1）利用二倍角的正弦函數公式可求$sin2α=-\frac{7}{9}$，進而可得${（{sinα-cosα}）^2}=1-sin2α=\frac{16}{9}$，結合范圍$a∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，可求sinα-cosα的值，即可得解．

解答 解：（1）∵m與n為共線向量，向量$\overrightarrow{m}$=（cosα-$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，1），
∴$（{cosα-\frac{{\sqrt{2}}}{3}}）×1-（{-1}）×sinα=0$，
即$sinα+cosα=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$；
（2）∵$1+sin2α={（{sinα+cosα}）^2}=\frac{2}{9}$，
∴$sin2α=-\frac{7}{9}$，
∴${（{sinα-cosα}）^2}=1-sin2α=\frac{16}{9}$，
又∵$a∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{sin2α}{sinα-cosα}$=$\frac{7}{12}$．

點評 本題主要考查了平面向量共線的性質，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．