Question

7．已知動圓P與圓F₁：（x+2）²+y²=（2$\sqrt{7}$+3）² 相內切，且與圓F₂：（x-2）²+y²=9相內切，記圓心P的軌跡為曲線C；設M為曲線C上的一個不在x軸上的動點，O為坐標原點，過點F₂作OM的平行線交曲線C于A，B兩個不同的點．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在常數λ，使得$\frac{|AB|}{|OM{|}^{2}}$=λ，若能，求出這個常數λ．若不能，說明理由；
（3）記△MF₂A面積為S₁，△OF₂B面積為S₂，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）設圓心P的坐標為（x，y），半徑為R，由已知條件推導出，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{7}$＞|F₁F₂|=4從而圓心P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，由此能求出圓心P的軌跡C的方程．
（II）設直線OQ：x=my，則$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，直線|OM|²：x=my+3，由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，根據弦長公式，能求出丨AB丨，由此能求出|MN|和|OQ|²的比值為常數；
（III）由△MF₂A面積為S₁=△OF₂B面積為S₂，能求出S=S₁+S₂的表達式，利用基本不等式的性質即可求得S的最大值．

解答 解：（1）設圓心P的坐標為（x，y），半徑為R，由于動圓P與圓F₁：（x+2）²+y²=（2$\sqrt{7}$+3）² 相切，
且與圓F₂：（x-2）²+y²=9相內切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{丨P{F}_{1}丨=2\sqrt{7}+3-R}\\{丨P{F}_{2}丨=R-3}\end{array}\right.$，
∴|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{7}$＞|F₁F₂|=4，…（2分）
∴圓心P的軌跡為以F₁，F₂為焦點的橢圓，其中2a=2$\sqrt{7}$，2c=4，
∴a=$\sqrt{7}$，c=2，b²=a²-c²=3，
故圓心P的軌跡C：$\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），
直線OQ：x=my，則直線MN：x=my+2
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=\frac{21{m}^{2}}{3{m}^{2}+7}}\\{{y}^{2}=\frac{21}{3{m}^{2}+7}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}^{2}=\frac{21{m}^{2}}{3{m}^{2}+7}}\\{{y}_{3}^{2}=\frac{21}{3{m}^{2}+7}}\end{array}\right.$，
∴丨OM丨²=x₃²+y₃²=$\frac{21（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+7}$，…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{7}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3m²+7）y²+12my-9=0，
∴由韋達定理可知：y₁+y₂=-$\frac{12m}{3{m}^{2}+7}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+7}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12m}{3{m}^{2}+7}）^{2}-4×（-\frac{9}{3{m}^{2}+7}）}$=$\frac{6\sqrt{7}（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+7}$…（8分）
∴$\frac{|AB|}{|OM{|}^{2}}$=$\frac{\frac{21（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+7}}{\frac{6\sqrt{7}（{m}^{2}+1）}{3{m}^{2}+7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$=λ，
∴λ的值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$；…（9分）
（III）∵AB∥OM，∴△MF₂MA的面積=△OF₂A的面積，
∴S=S₁+S₂=S_△OMN
∵O到直線MN：x=my+3的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$d•丨AB丨=$\frac{6\sqrt{7}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+7}$…（11分）
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t，則m²=t²-1（t≥1）
S=$\frac{6\sqrt{7}\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+7}$=$\frac{6\sqrt{7}}{3t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{6\sqrt{7}}{2\sqrt{3t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{6\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$，
∵（當且僅當3t=$\frac{4}{t}$，即t²=$\frac{2}{3}$，亦即m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號），
∴當m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，S取最大值$\frac{\sqrt{21}}{2}$．…（13分）

點評 本題考查橢圓的標準方程、直線、圓、與橢圓等橢圓知識，考查韋達定理及基本不等式的應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思等，屬于中檔題．