Question

19．已知$\vec m$=（pcosx+q，psinx），$\vec n$=（1，-$\sqrt{3}$），f（x）=$\vec m•\vec n$，△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若p＜0時，f（x）在[0，π]上的最大值為2，最小值為-1，求p，q的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f（A）=1，b=1，S_△ABC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求邊a，角C．

Answer 1

分析 （I）由向量乘法可知f（x）=$\vec m•\vec n$=pcosx+q-$\sqrt{3}$psinx=-2psin（x-$\frac{π}{6}$）+q，根據x的取值范圍求出sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，從而求出p與q值；
（II）f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），根據f（A）與面積求出A角與c，利用余弦定理求出a與C角．

解答 解：（Ⅰ）∵$\vec m$=（pcosx+q，psinx），$\vec n$=（1，-$\sqrt{3}$），
p＜0時，f（x）在[0，π]上的最大值為2，最小值為-1，
∴f（x）=$\vec m•\vec n$=pcosx+q-$\sqrt{3}$psinx=-2psin（x-$\frac{π}{6}$）+q，
∵x∈[0，π]，x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
∴sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2p+q=2}\\{p+q=-1}\end{array}\right.$，解得p=-1，q=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（A）=2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
在△ABC中，A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$⇒A=$\frac{π}{3}$ 或π（舍）；
S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×c×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得c=2；
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{3}$；
∵cosC=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0；
所以，C=$\frac{π}{2}$；
綜上：a=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查了平面向量基本運算，三角函數化簡與值域求法以及余弦定理的應用，屬中等題．