Question

2．過△ABC的重心G作直線MN，分別交邊AB、AC于點M、N，若AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$BC，則當△ABC的面積最大時，四邊形MNCB面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{6}}{18}$
• B． $\frac{5\sqrt{6}}{9}$
• C． $\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{18}$

Answer 1

分析 設AM=pAB，AN=qAC，則可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=pq，點E為BC中點，G為△ABC重心，則AG=$\frac{2}{3}$AE，又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），則pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，則S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，從而有S_{四邊形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，求得S_△ABC的最大值，即可得解．

解答 解：設AM=pAB，AN=qAC，則可求$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN•sinA}{\frac{1}{2}AB•AC•sinA}$=pq，
點E為BC中點，G為△ABC重心，則AG=$\frac{2}{3}$AE．
又$\frac{{S}_{△AMN}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABC}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{S}_{△AMG}}{{S}_{△ABE}}+\frac{{S}_{△ANG}}{{S}_{△ACE}}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{3}$p+$\frac{2}{3}$q），
則pq=$\frac{1}{3}$（p+q），由基本不等式得pq≥$\frac{2}{3}$$\sqrt{pq}$，
解得pq≥$\frac{4}{9}$，當且僅當“p=q=$\frac{2}{3}$”時取“=”，
則S_△AMN≥$\frac{4}{9}$S_△ABC，從而有S_{四邊形MNBC}=S_△ABC-S_△AMN≤$\frac{5}{9}$S_△ABC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2}×x$×sinB≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時sinB=1，x=1，
綜上可得有S_{四邊形MNBC}≤$\frac{5}{9}$S_△ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，即四邊形MNBC的面積的最大值為$\frac{5\sqrt{6}}{18}$，
當且僅當MN∥BC時取“=”．
故選：A．

點評 本題主要考查了三角形重心的性質、三角形的面積之比，考查了推理能力與計算能力，考查了數形結合思想和分類討論思想的應用，屬于難題．