Question

13．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F關于直線x+y=1的對稱點仍在拋物線上，則p的值等于6$±4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），設焦點F關于直線x+y=1的對稱點為（a，b），由拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F關于直線x+y=1的對稱點仍在拋物線上，利用中點坐標公式、直線的斜率公式、拋物線性質列出方程組，能求出p的值．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
設焦點F關于直線x+y=1的對稱點為（a，b），
∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F關于直線x+y=1的對稱點仍在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}-\frac{p}{2}}=1}\\{\frac{a+\frac{p}{2}}{2}+\frac{b}{2}=1}\\{{b}^{2}=2pa}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1-\frac{p}{2}}\\{{b}^{2}=2p}\end{array}\right.$，∴（1-$\frac{p}{2}$）²=2p，
解得p=6$±4\sqrt{2}$．
故答案為：6$±4\sqrt{2}$．

點評 本題考查實數值的求法，考查拋物線、中點坐標公式、直線的斜率公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．