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2.四棱錐P-ABCD的四條側棱長相等,底面ABCD為正方形,M為PB的中點.
(1)求證:PD∥平面ACM;
(2)若PA=AB,求異面直線PD與DM所成角的正弦值.

分析 (1)連接OM,則PD∥OM,由此能證明PD∥平面ACM.
(2)異面直線PD與CM所成的角,即OM與CM所成的角,即∠OMC,由此能求出異面直線PD與DM所成角的正弦值.

解答 證明:(1)連接OM,正方形ABCD中,OB=OD,又M為PB中點,
∴PD∥OM,
∵OM?平面ACM,PD不在平面ACM內,
∴PD∥平面ACM.…(4分)
解:(2)由(1)知,異面直線PD與CM所成的角,
即OM與CM所成的角,即∠OMC,
令PA=AB=2,則$OM=\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}PA=1$,$OC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}BC=\sqrt{2}$,
又PC=PB=PA=2=BC,∴△PBC為正三角形,$CM=\frac{{\sqrt{3}}}{2}BC=\sqrt{3}$,
在△OMC中,由OM2+OC2=MC2,∴OM⊥OC,
∴$sin∠OMC=\frac{OC}{MC}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$.
故異面直線PD與DM所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.…(12分)

點評 本題考查線面平行的證明,考查異面直線所成角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養.

練習冊系列答案
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12.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a2-b2=bc,sinC=2sinB,則A=( 。
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{5π}{6}$D.$\frac{2π}{3}$

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13.已知f(x)=ax2-2x+2,a∈R
(1)已知h(10x)=f(x)+x+1,求h(x)的解析式;
(2)若f(x)>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范圍;
(3)設函數F(x)=|f(x)|,若對任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,滿足$\frac{{F({x_1})-F({x_2})}}{{{x_1}-{x_2}}}$>0,求實數a的取值范圍.

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10.已知弧度數為$\frac{π}{3}$的圓心角所對的弦長為2,則這個圓心角所對的弧長是(  )
A.$\frac{π}{3}$B.$\frac{2π}{3}$C.$\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$D.$\frac{{2\sqrt{3}π}}{9}$

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17.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x-2},x<2}\\{lo{g}_{3}({x}^{2}-1),x≥2}\end{array}\right.$,若f(x)=1,則x=2.

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7.計算下列各題:
(1)${({2\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}}}-{({-0.96})^0}-{({3\frac{3}{8}})^{-\frac{2}{3}}}+{({1.5})^{-2}}$;
(2)若10x=3,10y=4,求102x-y的值.

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14.甲、乙兩種小麥試驗品種連續5年平均單位單位面積產量如下(單位:t/hm2):根據統計學知識可判斷甲、乙兩種小麥試驗品情況為(  )
品種第一年第二年第三年第四年第五年
9.89.910.11010.2
9.410.310.89.79.8
A.甲與乙穩定性相同
B.甲穩定性好于乙的穩定性
C.乙穩定性好于甲的穩定性
D.甲與乙穩定性隨著某些因素的變化而變化

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11.計算:
(1)2log210+log20.04   
(2)(log43+log83)•(log35+log95)•(log52+log252)

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2.已知函數f(x)=$\frac{x-2}{x-1}$與g(x)═mx+1-m的圖象相交于點A,B兩點,若動點P滿足|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=2,則P的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=4.

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