Question

4．已知圓C的方程是x²+y²-4x=0，直線l：ax-y-4a+2=0（a∈R）與圓C相交于M、N兩點，設P（4，2），則|PM|+|PN|的取值范圍是（4，4$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，α∈（0，$\frac{π}{2}$），利用根與系數的好像可得|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），即可得出．

解答 解：把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$，
代入x²+y²-4x=0，可得t²+4（sinα+cosα）t+4=0，
由△=16（sinα+cosα）²-16＞0，sinαcosα＞0，
又α∈[0，π），∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴t₁＜0，t₂＜0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4（sinα+cosα）=4$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由α∈（0，$\frac{π}{2}$），可得α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴|PM|+|PN|的取值范圍是（4，4$\sqrt{2}$]．
故答案為（4，4$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了直線參數方程的運用、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．