Question

14．已知函數f（x）=$\frac{e（x-1）}{{e}^{x}}$，若存在兩對關于y軸對稱的點分別再直線y=k（x+1）（k≠0）和函數y=f（x）的圖象上，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）

Answer 1

分析 設（x₀，y₀）在y=k（x+1）上，則（x₀，y₀）關于y軸對稱點為（-x₀，y₀），聯立方程求出k=-$\frac{e}{{e}^{-{x}_{0}}}$＜0或x₀=-1，再根據另一個根不為-1，則k≠-1
問題得以解決．

解答 解：設（x₀，y₀）在y=k（x+1）上，
則（x₀，y₀）關于y軸對稱點為（-x₀，y₀），
∴y₀=k（x₀+1），
y₀=$\frac{e（-{x}_{0}-1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$，
∴k（x₀+1）=$\frac{e（-{x}_{0}-1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$=$\frac{-e（{x}_{0}+1）}{{e}^{-{x}_{0}}}$
∴k=-$\frac{e}{{e}^{-{x}_{0}}}$＜0或x₀=-1，
則x₀=-1為其中一個根，
又另一個根不為-1，則k≠-1，
故k＜0且k≠-1，
故選：D

點評 本題考查了函數零點的問題以及函數的對稱性，屬于中檔題．