Question

設x、y為實數，集合A={（x，y）|y²-x-1=0}，B={（x，y）|16x²+8x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，問是否存在自然數k，b使（A∪B）∩C=∅？

Answer 1

考點：集合關系中的參數取值問題,交、并、補集的混合運算

專題：集合

分析：將（A∪B）∩C轉化為（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．轉化成對應的方程組無解的條件．

解答： 解：若（A∪B）∩C=∅，則（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．
即方程組

y2-x-1=0 y=kx+b

 ①與

16x2+8x-2y+5=0 y=kx+b

 ②都無解，
由①得k²x²+（2kb-1）x+b²-1=0，
若k=0，則方程為x=1-b²，有解，不滿足條件，
若k≠0，則判別式△=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0，
即1-4kb+4k²＜0，
∴b＞

1+4k2

4k

，
∵k，b是自然數，∴b＞1，
由②得16x²+8x-2（kx+b）+5=0，
即16x²+（8-2k）x+5-2b=0，
判別式△=（8-2k）²-4×16（5-2b）＜0，
即k²-8k+32b-64＜0，
即b＜

-k2+8k+64

32

=

-(k-4)2+80

32

≤

80

32

=

5

2

，
∵b是自然數，
∴b=2，此時k=1，
故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．

點評：本題考查集合間的基本關系及運算．方程解的情況判斷．本題轉化成對應的方程組無解的條件是關鍵．