Question

8．已知定義在R上的單調函數f（x）滿足對任意的x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立．若正實數a，b滿足f（a）+f（2b-1）=0，則$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值為9．

Answer 1

分析 首先判定函數是奇函數，由所給的等式可得f（a）=f（1-2b），再由f（x）單調遞增可得a=1-2b，從而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出結論．

解答 解：令x₁=0，x_2⁼⁰，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，
x₁=x，x₂=-x，有f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（x）是奇函數 
由單調奇函數滿足對任意實數a，b滿足f（a）+f（2b-1）=0，
可得f（a）=f（1-2b），即 a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+2b）=5+$\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}≥5+2\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}=9$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值為9，
故答案為：9．

點評 本題主要考查抽象函數的單調性和奇偶性的應用，及基本不等式，屬于中檔題．