Question

18．已知函數f（x）=log₃（9^x+1）+mx為偶函數，g（x）=$\frac{{9}^{x}+n}{{3}^{x}}$為奇函數．
（Ⅰ）求m-n的值；
（Ⅱ）若函數y=f（x）與$y={log_3}[g（x）+{3^{-x}}-4]+{log_3}a$的圖象有且只有一個交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意和函數奇偶性的性質分別列出方程，求出m和n的值，即可求出m-n的值；
（Ⅱ）由（I）和對數的運算性質化簡條件中的函數y，由對數函數的性質求出變量的范圍，利用換元法構造函數，由導數與函數的單調性關系，判斷出函數的單調性，并求出函數的值域，從而求出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=log₃（9^x+1）+mx為偶函數，
∴f（-x）=f（x），則log₃（9^-x+1）-mx=log₃（9^x+1）+mx，
即2mx=log₃（9^-x+1）-log₃（9^x+1）
又右邊=log₃$\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$-log₃（9^x+1）=log₃9^-x=log₃3^-2x=-2x，
∴2mx=-2x，解得m=-1，
∵g（x）=$\frac{{9}^{x}+n}{{3}^{x}}$為奇函數．
∴g（0）=0，則g（0）=$\frac{1+n}{1}$=0，解得n=-1，
∴m-n=0，即m-n的值0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=log₃（9^x+1）-x，g（x）=$\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$，
則$y={log_3}[g（x）+{3^{-x}}-4]+{log_3}a$=log₃（$\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）+log₃a
=log₃（3^x-4）+log₃a=log₃（3^x-4）a，
∴y=log₃（3^x-4）a，且（a＞0，3^x＞4）
即f（x）=log₃（9^x+1）-x與y=log₃（3^x-4）a的圖象有且只有一個交點，
∴log₃（9^x+1）-x=log₃（3^x-4）a有且僅有一個解，
∵log₃（9^x+1）-x=log₃（9^x+1）-log₃3^x=$lo{g}_{3}^{\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}}$，
∴3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=（3^x-4）a有且僅有一解，
設t=3^x，t＞4，代入上式得，$t+\frac{1}{t}=（t-4）a$，
則a=$\frac{t}{t-4}+\frac{1}{t（t-4）}$=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$，令y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$，
則y′=$\frac{{（t}^{2}+1）′t（t-4）-[t（t-4）]′（{t}^{2}+1）}{{t}^{2}（t-4）^{2}}$
=$\frac{{2（-2t}^{2}-t+2）}{{t}^{2}{（t-4）}^{2}}$，
∵函數y=-2t²-t+2在（4，+∞）上遞減，且y＜0，
∴y′＜0，則函數y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$在（4，+∞）上遞減，
∴函數y=$\frac{{t}^{2}+1}{t（t-4）}$在（4，+∞）上的值域是（0，+∞），
故實數a的取值范圍是a＞0．

點評 本題考查了函數奇偶性的性質，對數的運算性質、對數函數的性質，導數與函數單調性、最值的關系，以及函數圖象交點問題的轉化，考查換元法、構造法，轉化思想，化簡、變形能力．