Question

4．若實(shí)數(shù)a，b分別是方程x+lgx=6，x+10^x=6的解，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（a+b）x+2，x≤0\\ 2，x＞0\end{array}$，則關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)a滿足x+lgx=6，b滿足x+10^x=6，可得a+b=6，進(jìn)而可分類求出關(guān)于x的方程f（x）=x的解，從而確定關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵a滿足x+lgx=6，b滿足x+10^x=6，
∴a，b分別為函數(shù)y=6-x與函數(shù)y=lgx，y=10^x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由于y=x與y=6-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
函數(shù)y=lgx，y=10^x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴a+b=6，
∴函數(shù)f（x）=$.\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+6x+2…（x≤0）}\\{2…（x＞0）}\end{array}\right.$
當(dāng)x≤0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x²+6x+2=x，即x²+5x+2=0，
 x=$\frac{-5±\sqrt{17}}{2}＜0$，滿足題意；
當(dāng)x＞0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x=2，滿足題意．
∴關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，考查根的個(gè)數(shù)的研究，解題的關(guān)鍵是求出分段函數(shù)的解析式，有一定的綜合性，屬于中檔題．