Question

7．已知函數f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x+1}$（a＞0，a≠1，m≠-1），是定義在（-1，1）上的奇函數．
（I）求f（0）的值和實數m的值；
（II）當m=1時，判斷函數f（x）在（-1，1）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

分析 （I）f（0）=log_a¹=0，利用奇函數的定義，即可求出實數m的值；
（II）當m=1時，f（x）=log_a $\frac{1-x}{x+1}$，t=$\frac{1-x}{x+1}$，判斷其單調性，即可判斷與證明函數f（x）在（-1，1）上的單調性

解答 解：（I）f（0）=log_a¹=0．
因為f（x）是奇函數，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴log_a$\frac{1+mx}{-x+1}$+log_a$\frac{1-mx}{x+1}$=0；
∴log_a$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=0⇒$\frac{1-{m}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
即∴1-m²x²=1-x²對定義域內的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a $\frac{1-x}{x+1}$，
∴t=$\frac{1-x}{x+1}$，
設-1＜x₁＜x₂＜1，則t₁-t₂=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{1}+1}$-$\frac{1-{x}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
當a＞1時，log_at₁＞log_at₂，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴當a＞1時，f（x）在（-1，1）上是減函數．
當0＜a＜1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當0＜a＜1時，f（x）在（-1，1）上是增函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，以及對數的圖象和性質，利用奇偶性的對應建立方程是解決本題的關鍵．