Question

15．在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，asinA+bsinB-csinC=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$asinB．
（1）求B的值；
（2）設b=10，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}ab$，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函數基本關系式可求sinC，sinA的值，進而利用三角形內角和定理，誘導公式，兩角和的余弦函數公式可求cosB，解得B的范圍即可得解B的值．
（2）利用正弦定理可求c，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）由已知可得${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}ab$，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∵A，C∈（0，π），
∴$sinC=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴cosB=-cos（A+C）=-（$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=10$\sqrt{2}$，
∴c=10$\sqrt{2}×$$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=6$\sqrt{5}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×10×6\sqrt{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=60$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數基本關系式，三角形內角和定理，誘導公式，兩角和的余弦函數公式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，熟練掌握相關公式的應用是解題的關鍵，屬于中檔題．