Question

19．已知x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，若2x+3y＞t²+5t+1恒成立，則實數t的取值范圍（　　）

• A． （-∞，-8）∪（3，+∞）
• B． （-8，3）
• C． （-∞，-8）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 利用“1”的代換化簡2x+3y轉化為（2x+3y）（$\frac{3}{y}+\frac{2}{x}$）展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據2x+3y＞t²+5t+1求得2x+3y的最小值，進而求得t的范圍．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得：$\frac{3}{y}+\frac{2}{x}$=1，
∴2x+3y=（2x+3y）（$\frac{3}{y}+\frac{2}{x}$）=13+$\frac{6x}{y}+\frac{6y}{x}$≥13+2$\sqrt{\frac{6x}{y}•\frac{6y}{x}}$=25．當且僅當x=y=5時取等號．
∵2x+3y＞t²+5t+1恒成立，
∴t²+5t+1＜25，求得-8＜t＜3．
故選：B．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．函數恒成立的應用，考查了學生分析問題和解決問題的能力．