Question

7．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓C的上頂點，B是直線AF₂與橢圓C的另一個交點，∠F₁AF₂=60°
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若a=2，求△AF₁B的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：△AF₁B為等邊三角形，因此a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，即可求得橢圓C的離心率；
（2）由題意題意可知：當a=2，則c=1，由b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程，由直線的斜率k=-tan∠AF₁F₂=-$\sqrt{3}$，即可求得直線方程，代入橢圓方程，即可求得B點坐標，由${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y_B丨，代入即可求得△AF₁B的面積．

解答 解：（1）由題意可知，△AF₁B為等邊三角形，
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，
橢圓C的離心率$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知：a=2c，a=2，c=1，則b²=a²-c²，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴A（0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（1，0），
∴直線AC的斜率k=-tan∠AF₁F₂=-$\sqrt{3}$，
∴直線AC的方程為y-0=-$\sqrt{3}$（x-1）=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{3\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$（舍）
∴點B的坐標為（$\frac{8}{5}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$），
所以
${S}_{A{F}_{1}B}$=${S}_{A{F}_{1}{F}_{2}}$+${S}_{B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨AO丨+$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y_B丨=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
∴△AF₁B的面積$\frac{8\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．