Question

17．f（x）是定義在非零實數(shù)集上的函數(shù)，f′（x）為其導函數(shù)，且x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，記a=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$，b=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，c=$\frac{f（0．{2}^{2}）}{0．{2}^{2}}$，則（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{x}$，由已知得g（x）在（0，+∞）遞減，由此能比較a，b，c的大小．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{x}$，
∵x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
又log₂5＞log₂4=2，1＜2^0.2＜2，0.2²=0.04，
∴l(xiāng)og₂5＞2^0.2＞0.2²，
∴a=$\frac{f（lo{g}_{2}5）}{lo{g}_{2}5}$=g（log₂5）＜b=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$=g（2^0.2）＜c=$\frac{f（0．{2}^{2}）}{0．{2}^{2}}$=g（0.2²），
∴a＜b＜c，
故選：A．

點評 本題考查三個數(shù)的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)及構造法的合理運用．