Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，.

（1）求證，并指出異面直線PA與CD所成角的大小；

（2）在棱上是否存在一點，使得？如果存在，求出此時三棱錐與四棱錐的體積比；如果不存在，請說明理由.

 

 

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)要證明,只需證明面,利用面,推出,又因為矩形,得到,從而易證面；若證得面，顯然與的角為直角；

（2）當點為中點時，與交于點0，易證,使面,利用體積的轉化得到，，最終得到三棱錐與四棱錐的體積比.

試題解析：（1）∵，，

∴ 2分

∵四邊形為矩形， ∴，

又， ∴ 4分

故， ∴ 5分

PA與CD所成的角為 6分

（2）當點E為棱PD的中點時， 6分

下面證明并求體積比：

取棱PD的中點E，連接BD與AC相交于點O，連接EO.

∵四邊形為矩形，∴O為BD的中點

又E為棱PD的中點， ∴.

∵，

∴ 8分

當E為棱PD的中點時，，

又， ∴

考點：1.線線垂直于線面垂直的證明；2.體積的轉化.