Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD對角線的交點．
（Ⅰ）求證：平面C₁BD∥平面AB₁D₁；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖與平行四邊形的性質可得：BC₁∥AD₁，利用線面平行的判定定理可得BC₁∥平面AB₁D₁，同理可得：BD∥平面AB₁D₁，即可證明：平面C₁BD∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）：如圖，連接C₁O，利用直方圖的性質與線面垂直的性質定理可得：AA₁⊥BD，又BD⊥AC，可得BO⊥平面ACC₁A₁．因此∠OC₁B為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴在平行四邊形ABC₁D₁中，BC₁∥AD₁，
又AD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁，
同理可得：BD∥平面AB₁D₁，且BC₁∩BD=B，
∴平面C₁BD∥平面AB₁D₁．
（Ⅱ）解：如圖，連接C₁O，
由AA₁⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，又AC∩AA₁=A，
∴BO⊥平面ACC₁A₁．∴C₁O為BC₁在平面ACC₁A₁內的射影
∴∠OC₁B為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角．
在 Rt△OC₁B中，∵$BO=\frac{1}{2}B{C_1}$，∴$sin∠O{C_1}B=\frac{BO}{{B{C_1}}}=\frac{1}{2}$，
又∵$∠O{C_1}B∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$∠O{C_1}B=\frac{π}{6}$，
∴直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角為$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了空間位置關系與空間角、線面、面面平行的判定與性質定理、線面、面面垂直的判定與性質定理、空間角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．