Question

（1）已知不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，求不等式-x²+bx+a＞0的解集．
（2）若不等式ax²+4x+a＞1-2x²對任意x∈R均成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據不等式ax²-bx-1≥0的解集求出a、b的值，再求不等式-x²+bx+a＞0的解集即可；
（2）把不等式ax²+4x+a＞1-2x²化為標準形式，由不等式對任意的實數x均成立，列出條件不等式組，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，
∴方程ax²-bx-1=0的兩個實數根是-

1

2

，-

1

3

；
∴

- 1 2 - 1 3 = b a - 1 2 ×(- 1 3 )=- 1 a

，
解得a=-6，b=5；
∴不等式-x²+bx+a＞0化為x²-5x+6＜0，
解得2＜x＜3；
∴不等式-x²+bx+a＞0的解集是{x|2＜x＜3}．
（2）∵不等式ax²+4x+a＞1-2x²可化為
（a+2）x²+4x+a-1＞0，
對任意的實數x均成立，
∴

a+2＞0 16-4(a+2)(a-1)＜0

，
即

a＞-2 a＞2或a＜-3

，
解得a＞2；
∴實數a的取值范圍是{a|a＞2}．

點評：本題考查了一元二次不等式與對應方程的關系問題，也考查了不等式恒成立的問題，根與系數的關系的應用問題，是基礎題．