Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)且于點(diǎn).

（1）求的值；

（2）過軸上一點(diǎn) 的直線交于，兩點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為，為的焦點(diǎn)，若，求中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由點(diǎn)且于點(diǎn)，可求得直線AB的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程由韋達(dá)定理可表示，進(jìn)而表示，再由，得構(gòu)建方程，解得p值；

（2）分別表示與，由已知構(gòu)建方程，解得t的值，設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由構(gòu)建等式，整理得中點(diǎn)軌跡方程；當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，綜上可得答案.

（1）由及，得直線的斜率，

則的方程為，即，

設(shè)，，

聯(lián)立消去得，，

由韋達(dá)定理，得，于是，

由，得，即，則，

解得.

（2）由（1）得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，

則，，

由，得，且，得.

設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由，

可得，

；

當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，

所以的中點(diǎn)的軌跡方程為.