Question

【題目】已知函數,令，其中是函數的導函數.

(Ⅰ)當時，求的極值；

(Ⅱ)當時，若存在,使得恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 極小值，無極大值；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）把代入函數的解析式，求其導函數，由導函數的零點對定義域分段，得到函

數在各區間段內的單調性，從而求得函數極值；（Ⅱ）由函數的導函數可得函數的單調性，求得函數在 上的最值，再由恒成立，結合分離參數可得 ，構造函數，利用導數求其最值得的范圍.

試題解析：(Ⅰ)依題意，則

當a=0時，

令解得；

當時，，當時，

所以的單調遞減區間為(0,)，單調遞增區間為(,+∞)

所以時取得極小值，無極大值.

(Ⅱ)

當即時，恒有成立，

所以在[1,3]上是單調遞減.

所以

所以，

因為存在,使得恒成立，

所以整理得

又<0，所以

令=－，則∈(2,8)，構造函數,

所以，

當時，，當時，，此時函數單調遞增，

當時，，此時函數單調遞減，

所以，

所以m的取值范圍為(,+∞).