Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）證明：BC⊥平面ACFE；

（2）設點M在線段EF上運動，平面MAB與平面FCB所成銳二面角為θ，求cosθ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）證明BC⊥AC．通過平面ACFE⊥平面ABCD，推出BC⊥平面ACFE．

（2）分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，求出平面MAB的一個法向量，平面FCB的一個法向量，利用空間向量的數量積求解即可．

（1）證明：在梯形ABCD中，因為AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°

所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2ABBCcos60°＝3，

所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．

因為平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，

因為BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．

（2）解：由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，

令，則C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．

∴，．

設（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，

由得，取x＝1，則(1，，)，

∵(1，0，0)是平面FCB的一個法向量

∴cosθ

∵，∴當λ＝0時，cosθ有最小值，當時，cosθ有最大值．

∴．