Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）判斷函數的零點的個數，并說明理由；

（3）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

Answer 1

【答案】（1）（2）有且僅有兩個零點，詳見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）根據導數的幾何意義可求得結果；

（2）根據單調性和零點存在性定理可得在和上各有唯一一個零點，由此可得答案；

（3）根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線為，設曲線在點處的切線斜率為，根據導數的幾何意義求出切線方程為，根據是的一個零點，可證兩條切線重合.

（1）因為，

所以，，.

所以曲線在點處的切線的方程為.

（2）函數有且僅有兩個零點.理由如下：

的定義域為.

因為，

所以在和上均單調遞增.

因為，，

所以在上有唯一零點.

因為，，

所以在上有唯一零點.

綜上，有且僅有兩個零點.

（3）曲線在點處的切線方程為，即.

設曲線在點處的切線斜率為，

則，，，即切點為.

所以曲線在點處的切線方程為

，即.

因為是的一個零點，所以.

所以.

所以這兩條切線重合.

所以結論成立.