Question

19．在正數數列{a_n}中，a₁=2，且點$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直線x-9y=0上，則{a_n}的前n項和S_n等于（　　）

• A． 3ⁿ-1
• B． $\frac{{1-{{（{-3}）}^n}}}{2}$
• C． $\frac{{1+{3^n}}}{2}$
• D． $\frac{{3{n^2}+n}}{2}$

Answer 1

分析 代入點$（a_n^2，a_{n-1}^2）$，化簡可得數列{a_n}為首項為2，公比為3的等比數列，由等比數列的求和公式，化簡計算即可得到所求和．

解答 解：在正數數列{a_n}中，a₁=2，且點$（a_n^2，a_{n-1}^2）$在直線x-9y=0上，
可得a_n²=9a_n-1²，即為a_n=3a_n-1，
可得數列{a_n}為首項為2，公比為3的等比數列，
則{a_n}的前n項和S_n等于$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1．
故選：A．

點評 本題考查數列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列的前n項和公式和通項公式的靈活運用．