Question

9．下列命題中真命題的個數是（　　）
（1）有兩個互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱．
（2）四棱錐的四個側面可以是直角三角形．
（3）用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．
（4）圓錐的軸截面是所有過圓錐頂點的截面中面積最大的．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1），不符合棱柱的結構特征，可取一個簡單的組合體說明錯誤，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱；
（2），在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中四棱錐A₁-ABCD四個側面可以是直角三角形；
（3），用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺；
（4），利用過圓錐頂點的截面中面積等于$\frac{1}{2}$l²sinθ，其中θ為兩條母線l的夾角，可以判斷正誤；

解答 解：對于（1），有兩個互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不符合棱柱的結構特征，可取一個簡單的組合體說明錯誤，如下面是一個正三棱柱，上面是一個以正三棱柱上底面為底面的斜三棱柱．故錯；
對于（2），在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中四棱錐A₁-ABCD四個側面可以是直角三角形．正確；
對于（3），用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺，故錯；
對于（4），∵過圓錐頂點的截面中面積等于$\frac{1}{2}$l²sinθ，其中θ為兩條母線l的夾角，若軸截面的頂角為銳角或直角，則錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的一個
若軸截面的頂角為鈍角，則當θ=$\frac{π}{2}$時，過頂點的截面中面積最大，故錯；
故選：A．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了棱柱、棱錐、棱臺的結構特征，是基礎題．