Question

20．在區(qū)間[-2，3]中任取一個數(shù)m，則使“雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的離心率大于$\sqrt{3}$的概率是（　　）

• A． $\frac{7}{10}$
• B． $\frac{3}{10}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的離心率大于$\sqrt{3}$，則$\frac{{m}^{2}-1+4-m}{{m}^{2}-1}$＞3，解得-2＜m＜-1，-1＜m＜1，1＜m＜$\frac{3}{2}$，可得區(qū)間長度，求出在區(qū)間[-2，3]上隨機取一個實數(shù)m的區(qū)間長度，即可得出結論．

解答 解：因為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}-1}$-$\frac{{y}^{2}}{4-m}$=1的離心率大于$\sqrt{3}$，則$\frac{{m}^{2}-1+4-m}{{m}^{2}-1}$＞3，解得-m＜-1，m＞1，1＜m＜$\frac{3}{2}$，所求概率為$\frac{-1+2+\frac{3}{2}-1}{3+2}$=$\frac{3}{10}$．
故選B．

點評 本題考查了橢圓的方程以及幾何概型的公式；屬于基礎題．