Question

15．已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有窮數列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$（n=1，2…10）中，任意取正整數k（1≤k≤10），則前k項和大于$\frac{15}{16}$的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知條件推導出$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，利用條件，結合導數的性質求出$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是減函數，利用$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，推導出a=$\frac{1}{2}$．從而得到有窮數列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$為{（$\frac{1}{2}$）ⁿ}，再由等比數列的求和公式結合條件，解不等式可得k＞4，由古典概率公式能求出結果．

解答 解：∵f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴（$\frac{f（x）}{g（x）}$）′=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是減函數，
∴0＜a＜1，
∵$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，
∴a¹+a^-1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$或a=2．
綜上得a=$\frac{1}{2}$．
∴有窮數列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$為{（$\frac{1}{2}$）ⁿ}．
∵數列$\{\frac{f（n）}{g（n）}\}$的前k項和大于$\frac{15}{16}$，
∴（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²}+…+（$\frac{1}{2}$）^k＞$\frac{15}{16}$，
即有$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$＞$\frac{15}{16}$，
即為$\frac{1}{{2}^{k}}$＜$\frac{1}{16}$，解得k＞4，
即有k=5，6，…，10，
而n=1，2，…，10，
則前k項和大于$\frac{15}{16}$的概率是$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故選：C．

點評 本題考查等比數列的前n項和公式的應用，巧妙地把指數函數、導數、數列融合在一起，考查構造法和運算能力，是一道好題．